MULTIPLICACION Y DIVISIÓN

MULTIPLICACIÓN

Por Jose Alberto Martínez Acuña

>>MULTIPLICACIÓN. SU OBJETO.

La multiplicación es una operación de composición que tiene por objeto, dados números llamados multiplicado y multiplicador, hallar un numero llamado producto que se respecto del multiplicado lo que el multiplicados es respecto de la unidad.

Así , multiplicar 4 (multiplicado) por 3 (multiplicador) es hallar el número que sea respecto de 4 como el 3 es de 1, pero 3 es tres veces mayor que 1, luego el producto será tres veces mayor que 4, o sea 12. Igualmente multiplicar 8 por 5 es hallar un número que sea respecto de 8 lo que el 5 es respecto de 1, pero 5 es cinco veces 1, luego el producto será cinc veces 8, o sea 40.

En general, multiplicar a por b es hallar un número que sea respecto del a como el b es de 1.

NOTACIÓN

El producto de dos números se indica con el signo X o con un punto colocado entre los factores, que es el nombre que se le da al multiplicado y multiplicador.

Así, el producto de 6 por 5 se indica 6 X 5 ó 6 ∙ 5.

Cuando los factores son literales o un numero y una letra, se suele omitir el signo de multiplicación entre los factores.

Así, el producto de a por b se indica a X b, a ∙ b o simplemente ab. El producto de 7 por n se indica 7 X n , 7 ∙ n o simplemente 7n.

>>RELACIÓN ENTRE EL PRODUCTO Y EL MULTIPLICADO.

Consideremos 4 casos:

1) Si el multiplicador es cero, el producto es cero. Así, 5 X 0 = 0, como el multiplicador es 0 indica la ausencia de la unidad, luego el producto tiene que indicar la ausencia del multiplicado.

2) Si el multiplicador es 1 el valor es igual al multiplicado. Así, 4 X 1 = 4, porque siendo el multiplicador igual a la unidad, el producto tiene que ser igual al multiplicando.

El número 1 es el único número que multiplicado por otro da un producto igual a ese último y por eso se dice que el 1 es el módulo de la multiplicación.

3) Si el multiplicador es > 1, el producto es > el multiplicando. Así, 7 X 6 = 42 > 7, porque siendo 6 > 1, el producto tiene que ser > el multiplicando.

4) Si el multiplicando es < 1, el producto es < el multiplicando. Así, 8 X 0.5 = 4 < 8, porque siendo 0.5 la mitad de 1 el producto tiene que ser la mitad del multiplicando.

De lo anterior se deduce que multiplicar no es siempre aumentar.

>>DEFINICIÓN DE LA MULTIPLICACIÓN CUANDO EL MULTIPLICADOR ES UN NUMERO NATURAL.

Cuando el multiplicador es un número natural, la multiplicación es una suma abreviada que consta de tantos sumando iguales al multiplicando como unidades tenga el multiplicador.

Ejemplos:

4 X 3 = 4 + 4 + 4= 12.

5 X 6 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 =30.

ac = a + a + a + a. . . . c veces.

>>MULTIPLICACIÓN DE LA UNIDAD SEGUIDA POR CEROS.

Para multiplicar un entero por la unidad seguida de ceros se añaden al entero tantos ceros como ceros acompañen a la unidad.

Ejemplos:

(1) 54 X 100 = 5400, porque el valor relativo de cada cifra se ha hecho 100 veces mayor.

(2) 1789 X 1000 = 1789000, porque el valor relativo de cada cifra se ha hecho 1000 veces mayor.

>>MULTIPLICACIÓN DE DOS NUMEROS TERMINADOS EN CEROS.

Se multiplican los números como si no tuvieran ceros y a la derecha del producto se le agregan tantos ceros como haya en el multiplicando y multiplicador.

Ejemplo:

4300 X 25000 = 107500000.

>>NUMERO DE CIFRAS DEL PRODUCTO.

En el producto hay siempre tantas cifras como haya en el multiplicando y multiplicador juntos o una menos.

Así, el producto de 345 X 23 ha de tener cuatro cifras o cinco.

En efecto : 345 X 23 > 345 X 10, y como este último producto 345 X 10 = 3450 tiene cuatro cifras, el producto 345 X 23, que es mayor que él, no puede tener menos de cuatro cifras.

Por otra parte, 345 X 23 < 345 X 100, pero este producto 345 X 100 = 34500 tiene cinco cifras, luego el producto de 345 X 23, que es menor que el ultimo producto, no puede tener más de cinco cifras.

>>PRODUCTO CONTINUADO.

Para hallar el producto de más de dos números como 2 X 3 X 4 X 5 se halla primero el producto de dos de ellos; luego se multiplica este producto por el tercer factor; luego el segundo producto con el factor siguiente y así hasta el último factor.

Así, en este caso, tendremos:

2 X 3 = 6; 6 X 4 = 24; 24 X 5: 120

luego 2 X 3 X 4 X 5 = 120.

>>PRUEBAS DE LA MULTIPLICACIÓN.

La prueba de la multiplicación puede realizarse de tres modos:

1) Cambiando el orden de los factores, debiendo darnos el mismo producto, si la operación está correcta, según la ley conmutativa de la multiplicación que veremos pronto. 2) dividiendo el producto por uno de los factores debiendo darnos el otro factor.

>>EJERCICIO.

1. ¿Cuál es el módulo de la multiplicación? ¿Por qué?

2. Siendo el multiplicando 48, ¿Cuál debe ser el multiplicador para que el producto sea 48; el doble de 48; su tercera parte; 5 veces mayor que 48; cero?

3. Si el multiplicador es 6, ¿cuál será el multiplicador si el producto es 18; si es 3; si es cero?

4. Siendo ab = 3a, ¿Qué número es b?

5. Siendo mn = m, ¿qué número es n?

6. Siendo a.5 = b, ¿Qué valor tiene b con relación a a?

7. Siendo 5a =20, ¿qué número es a? ¿Por qué?

8. Expresar en forma de suma los productos 3 X 4; 5 X 7; 6 X 8.

9. Expresar en forma de suma los productos a ∙ 4; b ∙ 5; c ∙ 9.

10. Expresar en forma de suma los productos ab; mn; cd.

11. Efectuar

· 234 X 56

· 1228 X 315

· 4444 X 917

· 12345 X 6432

· 100001 X 1001

· 3245672 X 2003

· 5000045 X 7004

· 12345678 X 12004

12. Efectuar las operaciones siguientes:

· 856 por una decena.

· 54325 por una decena de millar.

· 1 centena de millar por 14 decenas.

· 17 décimas de centena por 145 centenas de decena.

· 8 centenas por 19 centenas de millar.

13. Efectuar.

· 324 X 100.

· 1215 X 1000.

· 198654 X 100000.

· 766534 X 10000000.

· 20 X 30

· 400 X 40

· 12000 X 3400

· 70000 X 42000

14. Cuantas cifras tendrán los productos 13 X 4; 45 X 32; 176 X 543; 1987 X 515?

15. Hallar el resultado de

a) 3 X 4 X 5.

b) 2 X 2 X 3 X 4

c) 8 X 7 X 6 X 3

d) 5 X 11 X 13 X 7.

División de números naturales
La torta se ha dividido o fraccionado en tres partes iguales. En esencia, fraccionar y dividir es lo mismo... La división es el proceso contrario a la multiplicación.
Si al efectuar la división, no sobra residuo,  se dice que la división es exacta; pereda un residuo la división es inexacta.
	En toda división se cumple: Dividendo = (divisor x cociente) + residuo Veamos si es cierto:
División entre la unidad seguida de ceros Dividir un número entre la unidad seguida de ceros es muy fácil. Sólo  se tiene que escribir como cociente el mismo número que se va a dividir, o sea el  dividendo, y luego correr la coma hacia la izquierda para crear tantas cifras decimales como ceros tenga la unidad.
	Observa  qué pasa con la coma... Si se divide entre 10 aparece un decimal Si el divisor es 100 aparecen dos decimales Si es 1000 aparecen 3 decimales y así... Si al correr la coma tantas espacios como ceros tenga el divisor no hay suficientes dígitos, los espacios deben complementarse con ceros.
¿Que pasa cuando el dividendo también tiene ceros? Podemos tachar o eliminar un cero del dividendo por cada cero del divisor al colocar el cociente.
División de números decimales
Otra forma muy práctica de dividir dos expresiones decimales es la siguiente: Se eliminan las cifras decimales tanto del dividendo como del divisor. Para ello multiplicamos por la unidad seguida de ceros a ambos lados hasta que no existan comas.
92,75 x 100 4,20 x 100	Veamos este ejemplo:    Para eliminar los decimales en ambos lados, debemos multiplicar las dos cifras por 100.
Ahora que las dos cantidades quedaron convertidas en enteros procedemos a dividir sin ningún problema.
34 ÷ 8	Natural entre natural con cociente decimal A veces es necesario que al dividir dos números enteros el producto sea un decimal  ¿ Qué se debe hacer ?
Hasta aquí llega la división de los números que se tienen. Para continuar la precisión, se agrega un cero al residuo y una coma al cociente así:	Se continúa dividiendo
Ejercicio de divisibilidad ¿Por cuáles de los numeros 2, 3, 4, 5 son divisibles 84, 375, 136? ¿Por cuáles de los numeros 2, 3, 4, 5, 11 y 25 son divisibles 175, 132, 165, 1893, 12344, 12133? ¿Por cuáles son los números 8, 125, 11,  y 13  son divisibles 8998, 1375, 7512, 8192? ¿Por cuáles de los números 7, 11, 13, 17 y 19 son divisbiles 91, 253, 169, 187, 209, 34573, 2227, 2869? Di, por simple inspección, cuál es el residuo de dividir 95 entre 3; 1246 entre 3; 456789 entre 3; 986547 entre 9; 2345 entre 11; 93758 entre 11; 928191 entre 11. Di, por simple inspección, cuál es el residuo de dividir 95 entre 3; 1246entre 3; 456789 entre 3; 986547 entre 9; 2345 entre 11; 93758 entre 11; 7234 entre 11; 928191 entre 11. Di cuál es la menor cifra que puede añadirse al número 124 para que resulte un numero de 4 cifras múltiplo de 3. Di qué tres cifras distintas pueden añadirse al número 562 para formar un múltiplo de 3 cifras; de 4 cifras. Di qué cifra debe suprimirse en 857 para que resulte un número de dos cifras múltiplo de 3. Di que cifra debe añadirse a la derecha de 3254 para que resulte un múltiplo de 11 de cinco cifras. Para hallar el mayor múltiplo de 3 contenido en 7345, ¿en cuánto se debe disminuir este número? Di cuál es el mayor múltiplo de 9 contenido en 7276. Para hallar el mayor múltiplo de 11 contenido en 2738, ¿en cuánto se debe disminuir este número? ¿Cuál es la diferencia entre 871 y el mayor múltiplo de 9 contenido en él?